Saturday, July 14

Digit sums of powers of integers


Cliff Pickover's Thursday twitter "shiver" explained: "666 is equal to the sum of the digits of its 47th power." That is really only half the story. 666 is also equal to the sum of the digits of its 51st power. I've created a cheat sheet to easily find exponent solutions for integers up to 20034 (note that not all integers have a solution). With it (and nothing else) you can solve this problem:

The sum of the digits of n^911 is n. What is the sum of the digits of n^913?

Sunday, July 8

(10^10002-1)/9-10^2872

This is what (10^10002-1)/9-10^2872 looks like:

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A zero (I've made it bold to make it easier to spot) is sandwiched between 7129 ones to the left and 2872 ones to the right. A number composed only of ones is called a repunit, so this would be a near-repunit.

The number is prime of course but that's not what makes it special. It would be relatively easy to come up with other near-repdigit primes of this (or even much larger) size. What makes it special is that no other distinct permutation of its digits is prime.

Think of it this way: Consider the repunit composed of 10002 ones. There are 10002 different integers where one of the ones is replaced with a zero. When the initial one is replaced with a zero, that zero disappears and the integer becomes a repunit composed of 10001 ones. Every other substitution (having the zero in a different place) maintains the 10002-digit length. We test all 10002 thus-permuted integers for primality (which may take a while) and discover that they are all composite except for one, i.e. the provided example.

There is a sequence of such primes (A039986) in the OEIS and I'm currently trying to extend the number of its known initial terms.