Friday, June 30

A mess o' puzzles


This photo captures some of my acquisitions from Brian Menold's Wood Wonders, in no particular order on a table behind me when at my computer desk. I've mastered a few but have given up on many more. The one that's up front and center (with the prominent white cubie on its side) is Gregory Benedetti's 2009 2 Temps 3 Mouvements, which Brian spells without the 'u'. It's my most recent can-do. It has no rotations and is a pleasure to take apart and put back together. Here's what this 4*4*4 cube looks like in pieces:

Friday, June 16

Asterisks and circumflexes

Given a positive integer, output all possible valid prime-factorization "statements" thereof created by inserting into its digit sequence zero or more multiplication (*) symbols and zero or more power (^) symbols. In order for a prime-factorization statement to be valid, it must be the product of powers of (left to right) strictly increasing primes. A single prime (with or without an exponent) is acceptable. No prime and no exponent may begin with a zero. No exponent may be equal to one. For instance, given 23537373797, here is the output (each <#> is how many digits there would be in the statement's decimal expansion):

  1.   2*3*5*37*373*797               <9>
  2.   2^3*5*37*373*797               <9>
  3.   2*3*5^3*7*37*3797              <9>
  4.   2^3*5^3*7*37*3797              <9>
  5.   2*3*5^3*7*373*797             <10>
  6.   2^3*5^3*7*373*797             <10>
  7.   2*3*53*7373797                <10>
  8.   2^3*53*7373797                <10>
  9.   2*353*7373797                 <10>
 10.   2*3^5*37*373*797              <10>
 11.   2*3*5^3*7373797               <10>
 12.   2^3*5^3*7373797               <10>
 13.   23*53*7373797                 <10>
 14.   2*3*5^3*7^3*73*797            <11>
 15.   2^3*5^3*7^3*73*797            <11>
 16.   2*3*5*37^3*73*797             <11>
 17.   2^3*5*37^3*73*797             <12>
 18.   2*3*5^3*7*37^3*797            <12>
 19.   2^3*5^3*7*37^3*797            <12>
 20.   2*3^5*37^3*73*797             <13>
 21.   23^5*37*373*797               <14>
 22.   23^5*37^3*73*797              <17>
 23.   2^35*3*7*37*3797              <18>
 24.   2^35*3*7*373*797              <18>
 25.   2^35*37*373*797               <18>
 26.   2^35*3*7373797                <18>
 27.   2^35*3*7^3*73*797             <19>
 28.   2*3*53^7*373*797              <19>
 29.   2^3*53^7*373*797              <19>
 30.   23*53^7*373*797               <19>
 31.   2^35*3^7*37*3797              <20>
 32.   2*3*53*73^7*3797              <20>
 33.   2^3*53*73^7*3797              <20>
 34.   2^35*3^7*373*797              <20>
 35.   2^35*3*7*37^3*797             <20>
 36.   2*3*5^3*73^7*3797             <20>
 37.   2^3*5^3*73^7*3797             <20>
 38.   23*53*73^7*3797               <20>
 39.   2^35*37^3*73*797              <21>
 40.   2*3*5^3*7^3*73^7*97           <21>
 41.   2*3*5^3*7^3*73*79^7           <21>
 42.   2^3*5^3*7^3*73^7*97           <21>
 43.   2^3*5^3*7^3*73*79^7           <21>
 44.   2*3*5*37^3*73^7*97            <22>
 45.   2*3*5*37^3*73*79^7            <22>
 46.   2^3*5*37^3*73^7*97            <22>
 47.   2^3*5*37^3*73*79^7            <22>
 48.   2^35*3^7*37^3*797             <22>
 49.   2*3*5^3*7*37^3*79^7           <22>
 50.   2^3*5^3*7*37^3*79^7           <22>
 51.   2*3^5*37^3*73^7*97            <23>
 52.   2*3^5*37^3*73*79^7            <23>
 53.   2*3*5*373^7*3797              <24>
 54.   2^3*5*373^7*3797              <24>
 55.   2*3*5^3*7*37*379^7            <24>
 56.   2^3*5^3*7*37*379^7            <24>
 57.   2*353^7*373*797               <24>
 58.   2*3^5*373^7*3797              <25>
 59.   23^5*37^3*73^7*97             <27>
 60.   23^5*37^3*73*79^7             <27>
 61.   2^35*3*73^7*3797              <28>
 62.   23^5*373^7*3797               <29>
 63.   2^35*3*7^3*73^7*97            <29>
 64.   2^35*3*7^3*73*79^7            <29>
 65.   2^35*3*7*37^3*79^7            <30>
 66.   2^35*37^3*73^7*97             <31>
 67.   2^35*37^3*73*79^7             <31>
 68.   2^35*3*7*37*379^7             <32>
 69.   2*3^53*7*37*3797              <32>
 70.   2*3*5^37*37*3797              <32>
 71.   2^35*3^7*37^3*79^7            <32>
 72.   2*3^53*7*373*797              <32>
 73.   2^3*5^37*37*3797              <32>
 74.   2*3*5^37*373*797              <33>
 75.   2^35*373^7*3797               <33>
 76.   2^3*5^37*373*797              <33>
 77.   2*3^53*7373797                <33>
 78.   2*3^53*7^3*73*797             <33>
 79.   2^35*3^7*37*379^7             <34>
 80.   2*3*53*73^7*379^7             <34>
 81.   2^3*53*73^7*379^7             <34>
 82.   2*3*5^3*73^7*379^7            <34>
 83.   2*3^53*7*37^3*797             <35>
 84.   2^3*5^3*73^7*379^7            <35>
 85.   23*53*73^7*379^7              <35>
 86.   2*3*5^37*37^3*797             <35>
 87.   2^3*5^37*37^3*797             <35>
 88.   2*3*5*37*37379^7              <36>
 89.   2^3*5*37*37379^7              <36>
 90.   2*3*5^3*7*37379^7             <36>
 91.   2^3*5^3*7*37379^7             <36>
 92.   2*3^5*37*37379^7              <37>
 93.   23537*37379^7                 <37>
 94.   2*3*5*373^7*379^7             <38>
 95.   2^3*5*373^7*379^7             <38>
 96.   2*3*5^3*7^37*37*97            <38>
 97.   2*3*5^3*7^37*3797             <38>
 98.   2^3*5^3*7^37*37*97            <38>
 99.   2^3*5^3*7^37*3797             <38>
100.   2*3^5*373^7*379^7             <39>
101.   23^5*37*37379^7               <41>
102.   2^35*3*73^7*379^7             <43>
103.   2*3^53*73^7*3797              <43>
104.   23^5*373^7*379^7              <43>
105.   2*3^53*7^3*73^7*97            <44>
106.   2*3^53*7^3*73*79^7            <44>
107.   2^35*3*7*37379^7              <44>
108.   2^35*37*37379^7               <45>
109.   2*3^53*7*37^3*79^7            <45>
110.   2*3*5^37*37^3*79^7            <45>
111.   2^3*5^37*37^3*79^7            <45>
112.   2*3*53^7*37379^7              <45>
113.   2^3*53^7*37379^7              <45>
114.   23*53^7*37379^7               <46>
115.   2^35*3*7^37*37*97             <46>
116.   2^35*3*7^37*3797              <46>
117.   2^35*3^7*37379^7              <46>
118.   2*3^53*7*37*379^7             <47>
119.   2*3*5^37*37*379^7             <47>
120.   2^3*5^37*37*379^7             <47>
121.   2^35*373^7*379^7              <47>
122.   2^35*3^73*7*37*97             <50>
123.   2^35*3^73*7*3797              <50>
124.   2^35*3^73*73*797              <51>
125.   2*353^7*37379^7               <51>
126.   2^35*3^73*7^3*797             <51>
127.   2*3*5^3*7^37*379^7            <53>
128.   2^3*5^3*7^37*379^7            <53>
129.   2*3^53*73^7*379^7             <57>
130.   2*3^53*7*37379^7              <59>
131.   2*3*5^37*37379^7              <59>
132.   2^3*5^37*37379^7              <59>
133.   2^35*3*7^37*379^7             <61>
134.   2^35*3^73*73^7*97             <61>
135.   2*3^53*7^37*37*97             <61>
136.   2*3^53*7^37*3797              <61>
137.   2^35*3^73*73*79^7             <61>
138.   2^35*3^73*7^3*79^7            <62>
139.   2*3*5*37^37*3797              <64>
140.   2^3*5*37^37*3797              <64>
141.   2*3*5^3*7*37^37*97            <64>
142.   2^3*5^3*7*37^37*97            <64>
143.   2^35*3^73*7*379^7             <65>
144.   2*3^5*37^37*3797              <65>
145.   23^5*37^37*3797               <69>
146.   2^35*3*7*37^37*97             <72>
147.   2^35*37^37*3797               <73>
148.   2^35*3^7*37^37*97             <74>
149.   2*3^53*7^37*379^7             <75>
150.   2*3*5*37^37*379^7             <78>
151.   2^3*5*37^37*379^7             <78>
152.   2^35*3^73*7^37*97             <79>
153.   2*3^5*37^37*379^7             <79>
154.   23^53*7373797                 <80>
155.   23^5*37^37*379^7              <83>
156.   2*3^53*7*37^37*97             <87>
157.   2^35*37^37*379^7              <87>
158.   2*3*5^37*37^37*97             <87>
159.   2^3*5^37*37^37*97             <87>
160.   23^53*73^7*3797               <89>
161.   23^53*73^7*379^7             <104>
162.   2^353*7*37*3797              <113>
163.   2^353*7*373*797              <113>
164.   2^353*7373797                <114>
165.   2^353*7^3*73*797             <114>
166.   2^353*7*37^3*797             <115>
167.   2^353*73^7*3797              <123>
168.   2^353*7^3*73^7*97            <124>
169.   2^353*7^3*73*79^7            <124>
170.   2^353*7*37^3*79^7            <126>
171.   2^353*7*37*379^7             <127>
172.   2*3*53^73*73*797             <132>
173.   2^3*53^73*73*797             <132>
174.   23*53^73*73*797              <132>
175.   2^353*73^7*379^7             <138>
176.   2^353*7*37379^7              <140>
177.   2^353*7^37*37*97             <142>
178.   2^353*7^37*3797              <142>
179.   2*3*53*73^73*797             <142>
180.   2^3*53*73^73*797             <142>
181.   2*3*53^73*73^7*97            <142>
182.   2*3*53^73*73*79^7            <142>
183.   2*3*5^3*73^73*797            <142>
184.   2^3*53^73*73^7*97            <142>
185.   2^3*53^73*73*79^7            <142>
186.   2^3*5^3*73^73*797            <142>
187.   23*53*73^73*797              <143>
188.   23*53^73*73^7*97             <143>
189.   23*53^73*73*79^7             <143>
190.   2^35*3*73^73*797             <150>
191.   2*3*53*73^73*79^7            <152>
192.   2^3*53*73^73*79^7            <152>
193.   2*3*5^3*73^73*79^7           <153>
194.   2^3*5^3*73^73*79^7           <153>
195.   23*53*73^73*79^7             <153>
196.   2^353*7^37*379^7             <156>
197.   2^35*3*73^73*79^7            <161>
198.   2*3^53*73^73*797             <165>
199.   2^353*7*37^37*97             <168>
200.   2*3^53*73^73*79^7            <175>
201.   2*3*5^3*7^37*37^97           <187>
202.   2^3*5^3*7^37*37^97           <187>
203.   2*3*5*373^73*797             <193>
204.   2^3*5*373^73*797             <193>
205.   2*3^5*373^73*797             <194>
206.   2^35*3*7^37*37^97            <195>
207.   23^5*373^73*797              <198>
208.   2^35*3^73*7*37^97            <199>
209.   2^35*373^73*797              <202>
210.   2*3^53*7^37*37^97            <209>
211.   23^53*73^73*797              <212>
212.   23^53*73^73*79^7             <222>
213.   2^353*73^73*797              <246>
214.   2^353*73^73*79^7             <256>
215.   2*3^537*37*3797              <262>
216.   2*3^537*373*797              <262>
217.   2*3^537*37^3*797             <265>
218.   2*3*5^373*7*37*97            <266>
219.   2*3*5^373*7*3797             <266>
220.   2^3*5^373*7*37*97            <267>
221.   2^3*5^373*7*3797             <267>
222.   2*3*5^373*73*797             <267>
223.   2^3*5^373*73*797             <267>
224.   2*3*5^373*7^3*797            <267>
225.   2^3*5^373*7^3*797            <268>
226.   2*3^537*37^3*79^7            <275>
227.   2*3^537*37*379^7             <277>
228.   2*3*5^373*73^7*97            <277>
229.   2*3*5^373*73*79^7            <277>
230.   2^3*5^373*73^7*97            <277>
231.   2^3*5^373*73*79^7            <277>
232.   2*3*5^373*7^3*79^7           <278>
233.   2^3*5^373*7^3*79^7           <278>
234.   2*3*5^373*7*379^7            <281>
235.   2^3*5^373*7*379^7            <281>
236.   2*3^537*37379^7              <289>
237.   2^353*7^37*37^97             <290>
238.   2*3*5^373*7^37*97            <295>
239.   2^3*5^373*7^37*97            <295>
240.   2*3^537*37^37*97             <317>
241.   2*3*5^3*7^373*797            <321>
242.   2^3*5^3*7^373*797            <322>
243.   2^35*3*7^373*797             <330>
244.   2*3*5^3*7^373*79^7           <332>
245.   2^3*5^3*7^373*79^7           <332>
246.   2^35*3*7^373*79^7            <340>
247.   2*3^53*7^373*797             <344>
248.   2*3^53*7^373*79^7            <355>
249.   2^35*3^737*37*97             <366>
250.   2^35*3^737*3797              <366>
251.   2^35*3^737*379^7             <381>
252.   2*3*5^373*7*37^97            <415>
253.   2^3*5^373*7*37^97            <415>
254.   2^353*7^373*797              <425>
255.   2^353*7^373*79^7             <435>
256.   2^35*3^737*37^97             <515>
257.   2*3*5*37^373*797             <590>
258.   2^3*5*37^373*797             <590>
259.   2*3^5*37^373*797             <591>
260.   23^5*37^373*797              <595>
261.   2^35*37^373*797              <599>
262.   2*3*5*37^373*79^7            <600>
263.   2^3*5*37^373*79^7            <600>
264.   2*3^5*37^373*79^7            <601>
265.   23^5*37^373*79^7             <606>
266.   2^35*37^373*79^7             <609>
267.   2*3*5373737^97               <654>
268.   2^3*5373737^97               <654>
269.   23*5373737^97                <655>
270.   23^537*37*3797               <737>
271.   23^537*373*797               <737>
272.   23^537*37^3*797              <739>
273.   23^537*37^3*79^7             <750>
274.   23^537*37*379^7              <751>
275.   23^537*37379^7               <764>
276.   23^537*37^37*97              <792>
277.   2^3537*3*7*37*97            <1070>
278.   2^3537*3*7*3797             <1070>
279.   2^3537*37*3797              <1070>
280.   2^3537*3*73*797             <1070>
281.   2^3537*373*797              <1071>
282.   2^3537*3*7^3*797            <1071>
283.   2^3537*3^7*37*97            <1072>
284.   2^3537*3^7*3797             <1072>
285.   2^3537*37^3*797             <1073>
286.   2^3537*3*73^7*97            <1081>
287.   2^3537*3*73*79^7            <1081>
288.   2^3537*3*7^3*79^7           <1082>
289.   2^3537*37^3*79^7            <1083>
290.   2^3537*3*7*379^7            <1085>
291.   2^3537*37*379^7             <1085>
292.   2^3537*3^7*379^7            <1087>
293.   2^3537*37379^7              <1097>
294.   2^3537*3*7^37*97            <1099>
295.   2^3537*3^73*7*97            <1103>
296.   2^3537*3^73*797             <1103>
297.   2^3537*3^73*79^7            <1113>
298.   2^3537*37^37*97             <1125>
299.   2^3537*3^73*7^97            <1182>
300.   2^3537*3*7*37^97            <1219>
301.   2^3537*3^7*37^97            <1221>
302.   2*3*53^737*3797             <1276>
303.   2^3*53^737*3797             <1276>
304.   23*53^737*3797              <1276>
305.   2*3*53^737*379^7            <1290>
306.   2^3*53^737*379^7            <1290>
307.   23*53^737*379^7             <1291>
308.   2*3*53*73^737*97            <1378>
309.   2^3*53*73^737*97            <1378>
310.   2*3*5^3*73^737*97           <1379>
311.   2^3*5^3*73^737*97           <1379>
312.   23*53*73^737*97             <1379>
313.   2^35*3*73^737*97            <1387>
314.   2*3^53*73^737*97            <1401>
315.   2^3537*3^737*97             <1419>
316.   23^53*73^737*97             <1448>
317.   2^353*73^737*97             <1482>
318.   2*3*5^3*7^3*73^797          <1491>
319.   2^3*5^3*7^3*73^797          <1491>
320.   2*3*5*37^3*73^797           <1492>
321.   2^3*5*37^3*73^797           <1492>
322.   2*3^5*37^3*73^797           <1493>
323.   23^5*37^3*73^797            <1497>
324.   2^35*3*7^3*73^797           <1499>
325.   2^35*37^3*73^797            <1501>
326.   2*3^53*7^3*73^797           <1514>
327.   2^35*3^73*73^797            <1531>
328.   2^353*7^3*73^797            <1594>
329.   2*3*53^73*73^797            <1612>
330.   2^3*53^73*73^797            <1612>
331.   23*53^73*73^797             <1613>
332.   2*3*5^373*73^797            <1747>
333.   2^3*5^373*73^797            <1747>
334.   2*353^737*3797              <1882>
335.   2*353^737*379^7             <1897>
336.   2*3*5*37*373^797            <2053>
337.   2^3*5*37*373^797            <2053>
338.   2*3*5^3*7*373^797           <2054>
339.   2^3*5^3*7*373^797           <2054>
340.   2*3^5*37*373^797            <2054>
341.   23^5*37*373^797             <2059>
342.   2^35*3*7*373^797            <2062>
343.   2^35*37*373^797             <2062>
344.   2*3*53^7*373^797            <2063>
345.   2^3*53^7*373^797            <2063>
346.   23*53^7*373^797             <2064>
347.   2^35*3^7*373^797            <2064>
348.   2*353^7*373^797             <2068>
349.   2*3^53*7*373^797            <2077>
350.   2*3*5^37*373^797            <2077>
351.   2^3*5^37*373^797            <2077>
352.   2^353*7*373^797             <2157>
353.   2*3^537*373^797             <2307>
354.   2^3537*3*73^797             <2551>
355.   2*3^5373*7*37*97            <2569>
356.   2*3^5373*7*3797             <2569>
357.   2*3^5373*73*797             <2569>
358.   2*3^5373*7^3*797            <2570>
359.   2*3^5373*73^7*97            <2579>
360.   2*3^5373*73*79^7            <2580>
361.   2*3^5373*7^3*79^7           <2580>
362.   2*3^5373*7*379^7            <2583>
363.   2*3^5373*7^37*97            <2598>
364.   2*3*5^3737*37*97            <2617>
365.   2*3*5^3737*3797             <2617>
366.   2^3*5^3737*37*97            <2617>
367.   2^3*5^3737*3797             <2617>
368.   2*3*5^3737*379^7            <2631>
369.   2^3*5^3737*379^7            <2632>
370.   2*3^5373*7*37^97            <2717>
371.   2*3*5^3737*37^97            <2765>
372.   2^3*5^3737*37^97            <2766>
373.   23^537*373^797              <2781>
374.   2^3537*373^797              <3115>
375.   2*3*5^3*7^3737*97           <3163>
376.   2^3*5^3*7^3737*97           <3164>
377.   2^35*3*7^3737*97            <3172>
378.   2*3^53*7^3737*97            <3186>
379.   2^35*3^73*7^3797            <3255>
380.   2^353*7^3737*97             <3267>
381.   2*3*5^373*7^3797            <3471>
382.   2^3*5^373*7^3797            <3471>
383.   2^35*3^7373*7*97            <3532>
384.   2^35*3^7373*797             <3532>
385.   2^35*3^7373*79^7            <3542>
386.   2^35*3^7373*7^97            <3611>
387.   2*3^5373*73^797             <4049>
388.   2^3537*3*7^3797             <4275>
389.   2*3*537373^797              <4568>
390.   2^3*537373^797              <4568>
391.   23*537373^797               <4569>
392.   2^3537*3^7379*7             <4587>
393.   2*3^5373*7^3797             <5773>
394.   2*3*5*37^3737*97            <5864>
395.   2^3*5*37^3737*97            <5864>
396.   2*3^5*37^3737*97            <5866>
397.   23^5*37^3737*97             <5870>
398.   2^35*37^3737*97             <5873>
399.   2*3*5^3*7*37^3797           <5959>
400.   2^3*5^3*7*37^3797           <5959>
401.   2^35*3*7*37^3797            <5967>
402.   2^35*3^7*37^3797            <5969>
403.   2*3^53*7*37^3797            <5981>
404.   2*3*5^37*37^3797            <5982>
405.   2^3*5^37*37^3797            <5982>
406.   2^353*7*37^3797             <6062>
407.   2*3^537*37^3797             <6211>
408.   23^537*37^3797              <6686>
409.   2^3537*37^3797              <7020>
410.   23^5373*73*797              <7322>
411.   23^5373*73^7*97             <7332>
412.   23^5373*73*79^7             <7332>
413.   23^5373*73^797              <8802>
414.   2^35373*7*37*97            <10653>
415.   2^35373*7*3797             <10653>
416.   2^35373*73*797             <10654>
417.   2^35373*7^3*797            <10654>
418.   2^35373*73^7*97            <10664>
419.   2^35373*73*79^7            <10664>
420.   2^35373*7^3*79^7           <10665>
421.   2^35373*7*379^7            <10668>
422.   2^35373*7^37*97            <10682>
423.   2^35373*7*37^97            <10802>
424.   2^35373*73^797             <12134>
425.   2*3*53^7373*797            <12717>
426.   2^3*53^7373*797            <12717>
427.   23*53^7373*797             <12718>
428.   2*3*53^7373*79^7           <12728>
429.   2^3*53^7373*79^7           <12728>
430.   23*53^7373*79^7            <12728>
431.   2^35373*7^3797             <13858>
432.   2*353^7373*797             <18788>
433.   2*353737^3797              <21069>
434.   2*3^53737*37*97            <25643>
435.   2*3^53737*3797             <25643>
436.   2*3^53737*379^7            <25658>
437.   2*3^53737*37^97            <25792>
438.   2*3*5^37373*7*97           <26127>
439.   2*3*5^37373*797            <26127>
440.   2^3*5^37373*7*97           <26127>
441.   2^3*5^37373*797            <26127>
442.   2*3*5^37373*79^7           <26137>
443.   2^3*5^37373*79^7           <26137>
444.   2*3*5^37373*7^97           <26206>
445.   2^3*5^37373*7^97           <26206>
446.   2^35*3^73737*97            <35195>
447.   2^3537*3^73797             <36275>
448.   23^53737*37*97             <73179>
449.   23^53737*3797              <73179>
450.   23^53737*379^7             <73194>
451.   23^53737*37^97             <73328>
452.   2^353737*3*7*97           <106489>
453.   2^353737*3*797            <106489>
454.   2^353737*37*97            <106490>
455.   2^353737*3797             <106490>
456.   2^353737*3^7*97           <106491>
457.   2^353737*3*79^7           <106500>
458.   2^353737*379^7            <106504>
459.   2^353737*3^79*7           <106524>
460.   2^353737*3*7^97           <106568>
461.   2^353737*37^97            <106638>
462.   2^353737*3^797            <106866>
463.   2*3*53^73737*97           <127146>
464.   2^3*53^73737*97           <127146>
465.   23*53^73737*97            <127147>
466.   2*3*53*73^73797           <137511>
467.   2^3*53*73^73797           <137511>
468.   2*3*5^3*73^73797          <137511>
469.   2^3*5^3*73^73797          <137511>
470.   23*53*73^73797            <137511>
471.   2^35*3*73^73797           <137519>
472.   2*3^53*73^73797           <137534>
473.   23^53*73^73797            <137580>
474.   2^353*73^73797            <137614>
475.   2*3*5*373^73797           <189786>
476.   2^3*5*373^73797           <189786>
477.   2*3^5*373^73797           <189788>
478.   23^5*373^73797            <189792>
479.   2^35*373^73797            <189795>
480.   2*3^537373*7*97           <256396>
481.   2*3^537373*797            <256396>
482.   2*3^537373*79^7           <256406>
483.   2*3^537373*7^97           <256475>
484.   2*3*5^373737*97           <261234>
485.   2^3*5^373737*97           <261234>
486.   2*3*5^3*7^373797          <315898>
487.   2^3*5^3*7^373797          <315899>
488.   2^35*3*7^373797           <315907>
489.   2*3^53*7^373797           <315921>
490.   2^353*7^373797            <316002>
491.   2^35*3^737379*7           <351831>
492.   2*3*5*37^373797           <586191>
493.   2^3*5*37^373797           <586191>
494.   2*3^5*37^373797           <586192>
495.   23^5*37^373797            <586196>
496.   2^35*37^373797            <586200>
497.   23^537373*797             <731759>
498.   23^537373*79^7            <731770>
499.   2^3537373*7*97           <1064859>
500.   2^3537373*797            <1064859>
501.   2^3537373*79^7           <1064869>
502.   2^3537373*7^97           <1064938>
503.   23537^373797             <1634148>
504.   2*3^5373737*97           <2563927>
505.   2*3*5^3737379*7          <2612318>
506.   2^3*5^3737379*7          <2612318>
507.   2^35*3^7373797           <3518206>
508.   23^5373737*97            <7317570>
509.   2^35373737*97           <10648558>
510.   2*3*53^7373797          <12714462>
511.   2^3*53^7373797          <12714462>
512.   23*53^7373797           <12714462>
513.   2*353^7373797           <18786774>
514.   2*3^53737379*7          <25639247>
515.   2*3*5^37373797          <26123164>
516.   2^3*5^37373797          <26123164>
517.   2^353737379*7          <106485563>
518.   2*3^537373797          <256392461>
519.   23^537373797           <731756858>
520.   2^3537373797          <1064855619>

The number of ways in which it can be done for a given integer is now A288818. There's a table there giving the first 10000 terms but here is a table giving one million.

Friday, June 9

13532385396179 precursors

One of the nice things about having James Davis' counterexample to Conway's conjecture is that it leads directly to other counterexamples (i.e., numbers that evolve into it). For example: 13*5323^8*5396179, 13^53238*5396179, etc. Then one finds precursors of these numbers, and so on. Will this process eventually end? Is the total number of precursors, precursors of precursors, precursors of precursors of precursors, etc., finite?

Robert Gerbicz has kindly calculated 58 factorizations (13532385396179 plus 57 primary precursors, sorted and indexed here by number size; additionally, I show the <number of decimal digits>:

 0.   13*53^2*3853*96179                <14>
 1.   13*5323^8*5396179                 <38>
 2.   13*53^23*853*96179                <49>
 3.   13^53*23*853*96179                <69>
 4.   13^53*23^8*53*96179               <77>
 5.   13^53*23^8*5396179                <77>
 6.   13^53*23^8*53^9*61*79             <90>
 7.   13^53*23^8*53^9*617^9            <111>
 8.   13^53*23^8*53^9*61^79            <227>
 9.   13^53*23^8*53^96*179             <238>
10.   13*53^238*5396179                <419>
11.   13^532*3853*96179                <602>
12.   13^53*23^853*96179              <1226>
13.   13^53*23^8*53^961*79            <1729>
14.   13*5323^853*96179               <3185>
15.   13^5323*853*96179               <5938>
16.   13^53*23^8539*61*79            <11691>
17.   13^53*23^8539*617^9            <11712>
18.   13^53*23^8539*61^79            <11828>
19.   13*5323*8539^6179              <24298>
20.   13*53^23*8539^6179             <24333>
21.   13^53*23*8539^6179             <24353>
22.   13^5323*8539^6179              <30222>
23.   13*53^23853*96179              <41136>
24.   13*53238539^6179               <47742>
25.   13^53238*53*96179              <59311>
26.   13^53238*5396179               <59311>
27.   13^53238*53^9*61*79            <59324>
28.   13^53238*53^9*617^9            <59345>
29.   13^53238*53^9*61^79            <59461>
30.   13^53238*53^96*179             <59472>
31.   13^53238*53^961*79             <60964>
32.   13^53*23^85396*179            <116348>
33.   13^53*23^8*53^96179           <165910>
34.   13^53238*53^96179             <225144>
35.   13*53^23*853^96179            <281937>
36.   13^53*23*853^96179            <281957>
37.   13^5323*853^96179             <287826>
38.   13*53^2*3853^96179            <344884>
39.   13^532*3853^96179             <345472>
40.   13*53^238539*61*79            <411312>
41.   13*53^238539*617^9            <411334>
42.   13*53^238539*61^79            <411450>
43.   13*5323853^96179              <646923>
44.   13^53*23^853961*79           <1162924>
45.   13*53^2385396*179            <4113085>
46.   13^5323853*96179             <5930476>
47.   13*53^23853961*79           <41130813>
48.   13^53238539*61*79           <59304721>
49.   13^53238539*617^9           <59304742>
50.   13^53238539*61^79           <59304858>
51.   13^53*23^85396179          <116286414>
52.   13*5323^85396179           <318199526>
53.   13^532385396*179           <593047175>
54.   13^532385396*17^9          <593047184>
55.   13*53^2385396179          <4113081073>
56.   13^5323853961*79          <5930471731>
57.   13^532385396179         <593047172939>

I have a work-in-progress version of this table that also shows secondary precursor counts.

Consider 13^532385396179. Take enough of its initial decimal digits to make a prime (and the next digit isn't zero; 68971066936841703995076128866117893410448319579 will do). Raise this to the power of the rest of the digits, thus creating a new (even larger) precursor. Repeat.

The number of initial decimal digits of 13^532385396179 that may be used as primes in the above argument is 47, 50, 449, 4341, 5798, ... The sequence is necessarily finite but will we ever know for certain when it is full?

Keep an eye out for new comments in Sloane's A195264.