Saturday, July 29

The largest 3- and 4-balanced factorization integers

Ten months ago I snagged the four largest 2-balanced factorization integers by reverse-searching 7-digit factorizations. I had high hopes of completing an 8-digit reverse-search but my poorly written code coupled with some power outages towards the end of my runs had me eventually give up. By then I had found four 22-digit 3-balanced solutions and one 32-digit 4-balanced solution. But because I hadn't completed the search I couldn't assert that these were the largest.

In the last couple of weeks (by utilizing someone else's code that was somewhat better at this than mine) I tried again and this time I completed the search. So I can now state that the four largest 3-balanced factorization integers are:

          1149570826484083326976 = 2^55 * 31907
          1208735110046668895744 = 2^9 * 53 * 239^7
          2205036970648967839744 = 2^18 * 1531^5
          4546782683595318279169 = 7^10 * 2003^4

The largest 4-balanced factorization integer is:

19260075803546226131439208984375 = 5^18 * 7 * 947^6

Which creates an interesting situation. We now have the largest and smallest k-balanced solutions for k = 1, 2, and 3. (My brute-force find of the smallest 3-balanced factorization integer is here.) And while we also have the largest solution for k = 4, we'll likely never know the smallest!

Friday, July 28

Pandigital factorization integer cascades

I've just created a new sequence of pandigital factorization integers (PFIs). My interest here is the possibility of finding long cascades of these numbers where the difference between adjacent terms is also pandigital. Here's an example:

0.                  2*3*107*45869
1.   + 1045968723 = 3*6047*59281
2.   + 1369754820 = 3*97*8402651
3.   + 1064358927 = 2^8*3*4569701
4.   + 1802467395 = 3*47^2*801569
5.   + 4987621053 = 2^9*3*6705481
6.   + 2480359671 = 3*71^2*845069
7.   + 3154087296 = 3*89^2*670541
8.   + 9241038675 = 2*3*7^5*41*6089

The numbers in the right-most column are the PFIs and the eight additions show the pandigital differences between adjacent terms. In this particular instance the differences are the only way to bridge 2*3*107*45869 to 2*3*7^5*41*6089 but many such cascades have alternate routes to get from the smallest to the largest term.

I only started searching this morning but I already have a 48-term cascade starting with 3^2*5*7*108649 and ending with 3^8*19^2*65407 that only has one minor path variant:

 0.                  3^2*5*7*108649
 1.   + 1235068974 = 3^4*15670289
 2.   + 1047635289 = 2*3^5*7*681049
 3.   + 1380467529 = 3^4*7*6520981
 4.   + 1067428935 = 2*3^5*9804167
 5.   + 1365278409 = 3^4*75680291
 6.   + 1063974852 = 3^5*7^2*604189
 7.   + 1375960284 = 3^6*419*28057
 8.   + 1457863920 = 3^5*41267089
 9.   + 1786520934 = 3^5*48619027
10.   + 2098416375 = 2^8*3^4*670951
11.   + 1643978025 = 3^5*64019827
12.   + 1983275604 = 3^6*5*4812097
13.   + 2019647358 = 3^5*80492761
14.   + 1348657290 = 3^5*86042791
15.   + 1563289470 = 3^5*92476081
16.   + 1372460598 = 3^5*98124067
17.   + 1269784350 = 3^6*71*485209
18.   + 1658423970 = 3^6*521*70489
19.   + 2186759430 = 3^6*79*502841
20.   + 1079682534 = 3^6*5*8241097
21.   + 1364529078 = 3^8*29*165047
22.   + 1276894530 = 3^6*487*92051
23.   + 3056148792 = 3^6*5*9804217
24.   + 4069512738 = 3^6*941*58027
25.   + 5178390264 = 3^7*20568941
26.   + 2416753098 = 3^8*5*7*206419
27.   + 6429583170 = 3^8*5*1640927
28.   + 8409356172 = 3^7*28459061
29.   + 1285496730 = 3^7*29046851
30.   + 3750219486 = 3^7*61*504289
31.   + 3671284095 = 2*3^8*5406719
32.   + 8136420759 = 3^8*257*46901
33.   + 4186029537 = 2*3^8*7*906541
34.   + 5704196823 = 3^7*40682951
35.   + 6095824371 = 2^8*3^6*509417
36.   + 7459630281 = 3^8*15627049
37.   + 6319542078 = 3^8*16590247
38.   + 1907234586 = 3^7*50642819
39.   + 3275841690 = 3^7*52140689
40.   + 4807325619 = 2*3^8*9056471
41.   + 3754269810 = 2^5*3^10*64879
42.   + 9270581463 = 3^8*5*4019627
43.   + 5681970342 = 3^8*20964157
44.   + 2617948350 = 3^7*64089521
45.   + 4139728560 = 3^7*65982401
46.   + 9045318276 = 3^8*7*641*5209
47.   + 1569023784 = 3^8*19^2*65407

The variant:

44.   + 4016985372 = 3^8*21576409
45.   + 2740691538 = 3^7*65982401

Thursday, July 27

Cheating (for the next leap forward)

When I wrote my Asterisks and circumflexes last month, I exampled it with the 520-term solution of the 11-digit 23537373797. This was Giovanni Resta's final term (#53) in his b-file for A288820. I don't know that this is the largest solution for 11-digit numbers but it's likely, because the records for 1- to 10-digit numbers are:

 1.  2              1
 2.  23             3
 3.  237            6
 4.  2337          12
 5.  23797         22
 6.  233797        41
 7.  2353797       75
 8.  23373797     124
 9.  235373797    220
10.  2353733797   334

A working conjecture might be that n-digit records always occur for numbers starting with 2 (followed by a 3). I'm not at all sure that this should be true forever, but it serves to cheat my way into a guess to the largest solution for 12-digit numbers, 235373733797:

  1.   2*3*5*37*373*3797                <10>
  2.   2^3*5*37*373*3797                <10>
  3.   2*3*5*373*733*797                <10>
  4.   2*3*5^3*7*37*33797               <10>
  5.   2*3*5^3*7*373*3797               <10>
  6.   2^3*5*373*733*797                <10>
  7.   2^3*5^3*7*37*33797               <10>
  8.   2^3*5^3*7*373*3797               <10>
  9.   2*3*53*73*733*797                <11>
 10.   2^3*53*73*733*797                <11>
 11.   2*3^5*37*373*3797                <11>
 12.   2*3*5^3*73*733*797               <11>
 13.   2^3*5^3*73*733*797               <11>
 14.   23*53*73*733*797                 <11>
 15.   2*3*5^3*7^3*73*3797              <11>
 16.   2^3*5^3*7^3*73*3797              <11>
 17.   2*3^5*373*733*797                <12>
 18.   2*3*5^3*7^3*733*797              <12>
 19.   2^3*5^3*7^3*733*797              <12>
 20.   2*3*5*37^3*73*3797               <12>
 21.   2^3*5*37^3*73*3797               <12>
 22.   2*3*5*37^3*733*797               <12>
 23.   2*3*5^3*7*37^3*3797              <13>
 24.   2^3*5*37^3*733*797               <13>
 25.   2^3*5^3*7*37^3*3797              <13>
 26.   2*3^5*37^3*73*3797               <13>
 27.   2*3^5*37^3*733*797               <14>
 28.   2*3*5*37*373^3*797               <14>
 29.   2^3*5*37*373^3*797               <14>
 30.   2*3*5^3*7^3*73^3*797             <14>
 31.   2^3*5^3*7^3*73^3*797             <15>
 32.   2*3*5^3*7*373^3*797              <15>
 33.   2^3*5^3*7*373^3*797              <15>
 34.   23^5*37*373*3797                 <15>
 35.   2*3*5*37^3*73^3*797              <15>
 36.   2^3*5*37^3*73^3*797              <15>
 37.   2*3^5*37*373^3*797               <15>
 38.   23^5*373*733*797                 <16>
 39.   2*3^5*37^3*73^3*797              <16>
 40.   23^5*37^3*73*3797                <17>
 41.   23^5*37^3*733*797                <18>
 42.   2^35*3*7*37*33797                <18>
 43.   2^35*3*7*373*3797                <19>
 44.   2^35*37*373*3797                 <19>
 45.   2^35*3*73*733*797                <19>
 46.   2^35*373*733*797                 <19>
 47.   2^35*3*7^3*73*3797               <19>
 48.   23^5*37*373^3*797                <19>
 49.   2*3*53^7*373*3797                <19>
 50.   2^3*53^7*373*3797                <20>
 51.   2^35*3*7^3*733*797               <20>
 52.   23*53^7*373*3797                 <20>
 53.   2^35*3^7*37*33797                <20>
 54.   23^5*37^3*73^3*797               <21>
 55.   2^35*3^7*373*3797                <21>
 56.   2*3*53*73^7*33797                <21>
 57.   2^35*3*7*37^3*3797               <21>
 58.   2^3*53*73^7*33797                <21>
 59.   2*3*5^3*73^7*33797               <21>
 60.   2^3*5^3*73^7*33797               <21>
 61.   23*53*73^7*33797                 <21>
 62.   2^35*37^3*73*3797                <21>
 63.   2^35*37^3*733*797                <22>
 64.   2^35*3*7^3*73^3*797              <23>
 65.   2^35*3^7*37^3*3797               <23>
 66.   2^35*3*7*373^3*797               <23>
 67.   2^35*37*373^3*797                <23>
 68.   2*3*53^7*373^3*797               <24>
 69.   2^3*53^7*373^3*797               <24>
 70.   2*3*5*37*373*379^7               <24>
 71.   2^35*37^3*73^3*797               <24>
 72.   2^3*5*37*373*379^7               <24>
 73.   2*3*5*373^7*33797                <25>
 74.   23*53^7*373^3*797                <25>
 75.   2^3*5*373^7*33797                <25>
 76.   2*3*5^3*7^3*73^3*79^7            <25>
 77.   2*353^7*373*3797                 <25>
 78.   2*3*5^3*7*373*379^7              <25>
 79.   2^3*5^3*7^3*73^3*79^7            <25>
 80.   2^3*5^3*7*373*379^7              <25>
 81.   2^35*3^7*373^3*797               <25>
 82.   2*3^5*37*373*379^7               <25>
 83.   2*3*5*37^3*73^3*79^7             <26>
 84.   2^3*5*37^3*73^3*79^7             <26>
 85.   2*3^5*373^7*33797                <26>
 86.   2*3*5^3*7^3*73*379^7             <26>
 87.   2^3*5^3*7^3*73*379^7             <26>
 88.   2*3*5*37^3*73*379^7              <27>
 89.   2^3*5*37^3*73*379^7              <27>
 90.   2*3^5*37^3*73^3*79^7             <27>
 91.   2*3*5^3*7*37^3*379^7             <27>
 92.   2^3*5^3*7*37^3*379^7             <27>
 93.   2*3^5*37^3*73*379^7              <28>
 94.   2^35*3*73^7*33797                <29>
 95.   2*353^7*373^3*797                <29>
 96.   23^5*37*373*379^7                <29>
 97.   23^5*373^7*33797                 <30>
 98.   23^5*37^3*73^3*79^7              <31>
 99.   23^5*37^3*73*379^7               <32>
100.   2^35*3*7^3*73^3*79^7             <33>
101.   2^35*3*7*373*379^7               <33>
102.   2*3^53*7*37*33797                <33>
103.   2*3^53*7*373*3797                <33>
104.   2^35*37*373*379^7                <33>
105.   2*3*5^37*37*33797                <33>
106.   2*3*5^37*373*3797                <33>
107.   2^3*5^37*37*33797                <33>
108.   2^3*5^37*373*3797                <33>
109.   2^35*373^7*33797                 <34>
110.   2*3^53*73*733*797                <34>
111.   2^35*3*7^3*73*379^7              <34>
112.   2*3*53^7*373*379^7               <34>
113.   2*3^53*7^3*73*3797               <34>
114.   2^3*53^7*373*379^7               <34>
115.   2*3^53*7^3*733*797               <34>
116.   23*53^7*373*379^7                <35>
117.   2^35*37^3*73^3*79^7              <35>
118.   2^35*3^7*373*379^7               <35>
119.   2^35*3*7*37^3*379^7              <35>
120.   2*3^53*7*37^3*3797               <35>
121.   2*3*5^37*37^3*3797               <35>
122.   2^3*5^37*37^3*3797               <36>
123.   2^35*37^3*73*379^7               <36>
124.   2*3^53*7^3*73^3*797              <37>
125.   2^35*3^7*37^3*379^7              <37>
126.   2*3^53*7*373^3*797               <38>
127.   2*3*5^37*373^3*797               <38>
128.   2^3*5^37*373^3*797               <38>
129.   2*3*5*373*73379^7                <39>
130.   2^3*5*373*73379^7                <39>
131.   2*3*53*73*73379^7                <39>
132.   2^3*53*73*73379^7                <39>
133.   2*3*5^3*7^37*33797               <39>
134.   2*353^7*373*379^7                <39>
135.   2*3*5^3*73*73379^7               <39>
136.   2^3*5^3*7^37*33797               <39>
137.   2^3*5^3*73*73379^7               <39>
138.   23*53*73*73379^7                 <40>
139.   2*3^5*373*73379^7                <40>
140.   2*3*5^3*7^3*73379^7              <40>
141.   2^3*5^3*7^3*73379^7              <40>
142.   2*3*5*37^3*73379^7               <41>
143.   2^3*5*37^3*73379^7               <41>
144.   2*3^5*37^3*73379^7               <42>
145.   2*3*5*37*373379^7                <43>
146.   2^3*5*37*373379^7                <43>
147.   2*3*5^3*7*373379^7               <43>
148.   2^3*5^3*7*373379^7               <43>
149.   2*3^53*73^7*33797                <44>
150.   2*3^5*37*373379^7                <44>
151.   23537*373379^7                   <44>
152.   23^5*373*73379^7                 <44>
153.   23^5*37^3*73379^7                <46>
154.   2^35*3*7^37*33797                <47>
155.   2^35*3*73*73379^7                <47>
156.   2*3^53*7^3*73^3*79^7             <47>
157.   2*3^53*7*373*379^7               <48>
158.   2^35*373*73379^7                 <48>
159.   23537^3*73379^7                  <48>
160.   2*3*5^37*373*379^7               <48>
161.   23^5*37*373379^7                 <48>
162.   2^3*5^37*373*379^7               <48>
163.   2^35*3*7^3*73379^7               <48>
164.   2*3^53*7^3*73*379^7              <49>
165.   2*3^53*7*37^3*379^7              <50>
166.   2^35*37^3*73379^7                <50>
167.   2*3*5^37*37^3*379^7              <50>
168.   2^3*5^37*37^3*379^7              <50>
169.   2^35*3^73*7*33797                <51>
170.   2^35*3^73*73*3797                <51>
171.   2^35*3*7*373379^7                <51>
172.   2^35*37*373379^7                 <52>
173.   2^35*3^73*733*797                <52>
174.   2^35*3^73*7^3*37*97              <52>
175.   2^35*3^73*7^3*3797               <52>
176.   2*3*53^7*373379^7                <52>
177.   2^3*53^7*373379^7                <52>
178.   23*53^7*373379^7                 <53>
179.   2^35*3^7*373379^7                <53>
180.   2^35*3^73*73^3*797               <54>
181.   2*353^7*373379^7                 <58>
182.   2*3*5^3*7*37^33*797              <59>
183.   2^3*5^3*7*37^33*797              <59>
184.   2*3^53*7^37*33797                <62>
185.   2*3^53*73*73379^7                <62>
186.   2*3^53*7^3*73379^7               <63>
187.   2*3*5*37^37*33797                <65>
188.   2^3*5*37^37*33797                <65>
189.   2^35*3^73*73^3*79^7              <65>
190.   2*3^5*37^37*33797                <66>
191.   2^35*3^73*73*379^7               <66>
192.   2*3^53*7*373379^7                <66>
193.   2*3*5^37*373379^7                <66>
194.   2^3*5^37*373379^7                <66>
195.   2^35*3^73*7^3*379^7              <66>
196.   2^35*3*7*37^33*797               <67>
197.   2^35*3^7*37^33*797               <69>
198.   2*3*5^3*7*37^33*79^7             <69>
199.   2^3*5^3*7*37^33*79^7             <69>
200.   23^5*37^37*33797                 <70>
201.   2^35*37^37*33797                 <74>
202.   2^35*3^73*7^33*797               <77>
203.   2*3*5^3*7^3*73^37*97             <77>
204.   2^3*5^3*7^3*73^37*97             <77>
205.   2^35*3*7*37^33*79^7              <77>
206.   2*3*5*37^3*73^37*97              <78>
207.   2^3*5*37^3*73^37*97              <78>
208.   2*3^5*37^3*73^37*97              <79>
209.   2^35*3^7*37^33*79^7              <79>
210.   2^35*3^73*73379^7                <80>
211.   23^53*73*733*797                 <80>
212.   2*3^53*7*37^33*797               <82>
213.   2*3*5^37*37^33*797               <82>
214.   2^3*5^37*37^33*797               <82>
215.   23^5*37^3*73^37*97               <83>
216.   2^35*3*7^3*73^37*97              <85>
217.   2^35*37^3*73^37*97               <87>
218.   2^35*3^73*7^33*79^7              <87>
219.   23^53*73^7*33797                 <90>
220.   2*3^53*7*37^33*79^7              <92>
221.   2*3*5^37*37^33*79^7              <92>
222.   2^3*5^37*37^33*79^7              <92>
223.   2*3^53*7^3*73^37*97             <100>
224.   23^53*73*73379^7                <109>
225.   2^353*7*37*33797                <114>
226.   2^353*7*373*3797                <114>
227.   2^353*73*733*797                <114>
228.   2^353*7^3*73*3797               <115>
229.   2^353*7^3*733*797               <115>
230.   2^353*7*37^3*3797               <116>
231.   2^35*3^73*73^37*97              <117>
232.   2^353*7^3*73^3*797              <118>
233.   2^353*7*373^3*797               <118>
234.   2^353*73^7*33797                <124>
235.   2^353*7^3*73^3*79^7             <128>
236.   2^353*7*373*379^7               <128>
237.   2^353*7^3*73*379^7              <129>
238.   2^353*7*37^3*379^7              <130>
239.   2*3*53^73*73*3797               <133>
240.   2^3*53^73*73*3797               <133>
241.   2*3*53^73*733*797               <133>
242.   2^3*53^73*733*797               <133>
243.   23*53^73*73*3797                <133>
244.   23*53^73*733*797                <134>
245.   2*3*53^73*73^3*797              <136>
246.   2^3*53^73*73^3*797              <136>
247.   23*53^73*73^3*797               <136>
248.   2^353*7^37*33797                <143>
249.   2*3*53*73^73*3797               <143>
250.   2^353*73*73379^7                <143>
251.   2^3*53*73^73*3797               <143>
252.   2*3*5^3*73^73*3797              <143>
253.   2^3*5^3*73^73*3797              <143>
254.   23*53*73^73*3797                <143>
255.   2^353*7^3*73379^7               <143>
256.   2*3*53^73*73^3*79^7             <146>
257.   2^3*53^73*73^3*79^7             <146>
258.   23*53^73*73^3*79^7              <147>
259.   2^353*7*373379^7                <147>
260.   2*3*53^73*73*379^7              <147>
261.   2^3*53^73*73*379^7              <147>
262.   23*53^73*73*379^7               <148>
263.   2^35*3*73^73*3797               <151>
264.   2*3*53*73^73*379^7              <157>
265.   2^3*53*73^73*379^7              <157>
266.   2*3*5^3*73^73*379^7             <157>
267.   2^3*5^3*73^73*379^7             <158>
268.   23*53*73^73*379^7               <158>
269.   2*3*53^73*73379^7               <161>
270.   2^3*53^73*73379^7               <161>
271.   23*53^73*73379^7                <162>
272.   2^353*7*37^33*797               <162>
273.   2^35*3*73^73*379^7              <166>
274.   2*3^53*73^73*3797               <166>
275.   23537^37*33797                  <167>
276.   2^353*7*37^33*79^7              <173>
277.   2*3^53*73^73*379^7              <180>
278.   2^353*7^3*73^37*97              <180>
279.   2*353^73*733*797                <193>
280.   2*3*5*373^73*3797               <193>
281.   2^3*5*373^73*3797               <193>
282.   2*3^5*373^73*3797               <195>
283.   2*3*53^73*73^37*97              <198>
284.   2^3*53^73*73^37*97              <198>
285.   23^5*373^73*3797                <199>
286.   23*53^73*73^37*97               <199>
287.   2^35*3^73*7^3*37^97             <201>
288.   2^35*373^73*3797                <202>
289.   2*3*5*373^73*379^7              <208>
290.   2^3*5*373^73*379^7              <208>
291.   2*3^5*373^73*379^7              <209>
292.   23^53*73^73*3797                <212>
293.   23^5*373^73*379^7               <213>
294.   2^35*373^73*379^7               <217>
295.   2*353^73*73379^7                <221>
296.   23^53*73^73*379^7               <227>
297.   2^353*73^73*3797                <246>
298.   2*3*5^3*7*37*337^97             <251>
299.   2^3*5^3*7*37*337^97             <251>
300.   2^35*3*7*37*337^97              <259>
301.   2^353*73^73*379^7               <261>
302.   2^35*3^7*37*337^97              <261>
303.   2*3*53*73^7*337^97              <261>
304.   2^3*53*73^7*337^97              <261>
305.   2*3*5^3*73^7*337^97             <262>
306.   2^3*5^3*73^7*337^97             <262>
307.   23*53*73^7*337^97               <262>
308.   2*3^537*37*33797                <263>
309.   2*3^537*373*3797                <263>
310.   2*3^537*37^3*3797               <265>
311.   2*3*5^373*7*33797               <267>
312.   2*3*5^373*73*3797               <267>
313.   2^3*5^373*7*33797               <267>
314.   2^3*5^373*73*3797               <268>
315.   2*3^537*373^3*797               <268>
316.   2*3*5^373*733*797               <268>
317.   2^3*5^373*733*797               <268>
318.   2*3*5^373*7^3*37*97             <268>
319.   2*3*5^373*7^3*3797              <268>
320.   2^3*5^373*7^3*37*97             <268>
321.   2^3*5^373*7^3*3797              <268>
322.   2^35*3*73^7*337^97              <270>
323.   2*3*5^373*73^3*797              <270>
324.   2^3*5^373*73^3*797              <271>
325.   2*3^53*7*37*337^97              <274>
326.   2*3*5^37*37*337^97              <274>
327.   2^3*5^37*37*337^97              <274>
328.   2*3^537*373*379^7               <278>
329.   2*3^537*37^3*379^7              <280>
330.   2*3*5^3*7^37*337^97             <280>
331.   2^3*5^3*7^37*337^97             <280>
332.   2*3*5^373*73^3*79^7             <281>
333.   2^3*5^373*73^3*79^7             <281>
334.   2*3*5^373*73*379^7              <282>
335.   2^3*5^373*73*379^7              <282>
336.   2*3*5^373*7^3*379^7             <283>
337.   2^3*5^373*7^3*379^7             <283>
338.   2*3^53*73^7*337^97              <284>
339.   2^35*3*7^37*337^97              <288>
340.   2^35*3^73*7*337^97              <292>
341.   2*3*5^373*7^33*797              <293>
342.   2^3*5^373*7^33*797              <293>
343.   2*3^537*373379^7                <296>
344.   2*3*5^373*73379^7               <296>
345.   2^3*5^373*73379^7               <296>
346.   2*3^53*7^37*337^97              <303>
347.   2*3*5^373*7^33*79^7             <303>
348.   2^3*5^373*7^33*79^7             <303>
349.   2*3*5*37^37*337^97              <305>
350.   2^3*5*37^37*337^97              <305>
351.   2*3^5*37^37*337^97              <306>
352.   23^5*37^37*337^97               <311>
353.   2*3^537*37^33*797               <312>
354.   2^35*37^37*337^97               <314>
355.   2*3^537*37^33*79^7              <322>
356.   2*3*5^3*7^373*37*97             <322>
357.   2*3*5^3*7^373*3797              <322>
358.   2^3*5^3*7^373*37*97             <322>
359.   2^3*5^3*7^373*3797              <322>
360.   2^35*3*7^373*37*97              <330>
361.   2^35*3*7^373*3797               <330>
362.   23^53*73^7*337^97               <331>
363.   2^35*3^73*7^337*97              <333>
364.   2*3*5^373*73^37*97              <333>
365.   2^3*5^373*73^37*97              <333>
366.   2*3*5^3*7^373*379^7             <337>
367.   2^3*5^3*7^373*379^7             <337>
368.   2^35*3*7^373*379^7              <345>
369.   2*3^53*7^373*37*97              <345>
370.   2*3^53*7^373*3797               <345>
371.   2^353*7*37*337^97               <354>
372.   2*3^53*7^373*379^7              <359>
373.   2^353*73^7*337^97               <365>
374.   2^35*3^737*33797                <367>
375.   2^353*7^37*337^97               <383>
376.   2*3*5^373*7^3*37^97             <417>
377.   2^3*5^373*7^3*37^97             <417>
378.   2^353*7^373*37*97               <426>
379.   2^353*7^373*3797                <426>
380.   2^353*7^373*379^7               <440>
381.   2*3*5*37*37337^97               <447>
382.   2^3*5*37*37337^97               <447>
383.   2*3*5^3*7*37337^97              <448>
384.   2^3*5^3*7*37337^97              <448>
385.   2*3^5*37*37337^97               <448>
386.   23537*37337^97                  <448>
387.   23^5*37*37337^97                <452>
388.   2^35*3*7*37337^97               <456>
389.   2^35*37*37337^97                <456>
390.   2*3*53^7*37337^97               <457>
391.   2^3*53^7*37337^97               <457>
392.   23*53^7*37337^97                <457>
393.   2^35*3^7*37337^97               <458>
394.   2*353^7*37337^97                <462>
395.   2*3^53*7*37337^97               <470>
396.   2*3*5^37*37337^97               <471>
397.   2*3*5^3*7^373*37^97             <471>
398.   2^3*5^37*37337^97               <471>
399.   2^3*5^3*7^373*37^97             <471>
400.   2^35*3*7^373*37^97              <479>
401.   2*3^53*7^373*37^97              <493>
402.   2*3^537*37*337^97               <504>
403.   2*3*5^373*7*337^97              <508>
404.   2^3*5^373*7*337^97              <508>
405.   2*3*5^3*7*37^337*97             <535>
406.   2^3*5^3*7*37^337*97             <535>
407.   2^35*3*7*37^337*97              <543>
408.   2^35*3^7*37^337*97              <545>
409.   2*3*5^373*7^337*97              <549>
410.   2^3*5^373*7^337*97              <549>
411.   2^353*7*37337^97                <551>
412.   2*3^53*7*37^337*97              <557>
413.   2*3*5^37*37^337*97              <558>
414.   2^3*5^37*37^337*97              <558>
415.   2^353*7^373*37^97               <574>
416.   2*3*5*37^373*3797               <590>
417.   2^3*5*37^373*3797               <591>
418.   2*3^5*37^373*3797               <592>
419.   23^5*37^373*3797                <596>
420.   2^35*37^373*3797                <600>
421.   2*3*5*37^373*379^7              <605>
422.   2^3*5*37^373*379^7              <605>
423.   2*3^5*37^373*379^7              <606>
424.   2^35*3^737*337^97               <608>
425.   23^5*37^373*379^7               <610>
426.   2^35*37^373*379^7               <614>
427.   2^353*7*37^337*97               <638>
428.   2*3^537*37337^97                <701>
429.   23^537*37*33797                 <738>
430.   23^537*373*3797                 <738>
431.   23^537*37^3*3797                <740>
432.   23^537*373^3*797                <742>
433.   23^537*373*379^7                <752>
434.   23^537*37^3*379^7               <755>
435.   23^537*373379^7                 <771>
436.   23^537*37^33*797                <786>
437.   2*3^537*37^337*97               <787>
438.   23^537*37^33*79^7               <797>
439.   23^537*37*337^97                <978>
440.   2^3537*3*7*33797               <1071>
441.   2^3537*3*73*3797               <1071>
442.   2^3537*37*33797                <1071>
443.   2^3537*373*3797                <1071>
444.   2^3537*3*733*797               <1071>
445.   2^3537*3*7^3*37*97             <1072>
446.   2^3537*3*7^3*3797              <1072>
447.   2^3537*3^7*33797               <1073>
448.   2^3537*37^3*3797               <1074>
449.   2^3537*3*73^3*797              <1074>
450.   2^3537*373^3*797               <1076>
451.   2^3537*3*73^3*79^7             <1085>
452.   2^3537*3*73*379^7              <1086>
453.   2^3537*373*379^7               <1086>
454.   2^3537*3*7^3*379^7             <1086>
455.   2^3537*37^3*379^7              <1088>
456.   2^3537*3*7^33*797              <1097>
457.   2^3537*3*73379^7               <1100>
458.   2^3537*3^73*37*97              <1104>
459.   2^3537*3^73*3797               <1104>
460.   2^3537*373379^7                <1104>
461.   2^3537*3*7^33*79^7             <1107>
462.   2^3537*3^73*379^7              <1118>
463.   2^3537*37^33*797               <1120>
464.   2^3537*37^33*79^7              <1130>
465.   2^3537*3*73^37*97              <1137>
466.   23^537*37337^97                <1175>
467.   2^3537*3*7^3*37^97             <1220>
468.   2^3537*3^73*37^97              <1252>
469.   23^537*37^337*97               <1262>
470.   2*3*53^737*33797               <1277>
471.   2^3*53^737*33797               <1277>
472.   23*53^737*33797                <1277>
473.   2^3537*3*7*337^97              <1312>
474.   2^3537*37*337^97               <1312>
475.   2^3537*3^7*337^97              <1314>
476.   2^3537*3*7^337*97              <1353>
477.   2*3*53*73^733*797              <1372>
478.   2^3*53*73^733*797              <1372>
479.   2*3*5^3*73^733*797             <1372>
480.   2^3*5^3*73^733*797             <1372>
481.   23*53*73^733*797               <1372>
482.   2^35*3*73^733*797              <1380>
483.   2*3*53*73^733*79^7             <1382>
484.   2^3*53*73^733*79^7             <1382>
485.   2*3*5^3*73^733*79^7            <1382>
486.   2^3*5^3*73^733*79^7            <1383>
487.   23*53*73^733*79^7              <1383>
488.   2^35*3*73^733*79^7             <1391>
489.   2*3^53*73^733*797              <1395>
490.   2*3^53*73^733*79^7             <1405>
491.   2^3537*3^733*7*97              <1418>
492.   2^3537*3^733*797               <1418>
493.   2^3537*3^733*79^7              <1428>
494.   23^53*73^733*797               <1441>
495.   23^53*73^733*79^7              <1452>
496.   2^353*73^733*797               <1475>
497.   2^353*73^733*79^7              <1486>
498.   2^3537*3^733*7^97              <1497>
499.   2^3537*37337^97                <1509>
500.   2*3*53^737*337^97              <1517>
501.   2^3*53^737*337^97              <1517>
502.   23*53^737*337^97               <1518>
503.   2^3537*37^337*97               <1596>
504.   2*353^737*33797                <1883>
505.   2*3*5*373^733*797              <1890>
506.   2^3*5*373^733*797              <1890>
507.   2*3^5*373^733*797              <1891>
508.   23^5*373^733*797               <1895>
509.   2^35*373^733*797               <1899>
510.   2*3*5*373*733^797              <2288>
511.   2^3*5*373*733^797              <2288>
512.   2*3*53*73*733^797              <2288>
513.   2^3*53*73*733^797              <2288>
514.   2*3*5^3*73*733^797             <2289>
515.   2^3*5^3*73*733^797             <2289>
516.   23*53*73*733^797               <2289>
517.   2*3^5*373*733^797              <2289>
518.   2*3*5^3*7^3*733^797            <2289>
519.   2^3*5^3*7^3*733^797            <2290>
520.   2*3*5*37^3*733^797             <2290>
521.   2^3*5*37^3*733^797             <2290>
522.   2*3^5*37^3*733^797             <2291>
523.   23^5*373*733^797               <2293>
524.   23^5*37^3*733^797              <2296>
525.   2^35*3*73*733^797              <2297>
526.   2^35*373*733^797               <2297>
527.   2^35*3*7^3*733^797             <2298>
528.   2^35*37^3*733^797              <2299>
529.   2*3^53*73*733^797              <2311>
530.   2*3^53*7^3*733^797             <2312>
531.   2^35*3^73*733^797              <2329>
532.   23^53*73*733^797               <2358>
533.   2^353*73*733^797               <2392>
534.   2^353*7^3*733^797              <2393>
535.   2*3*53^73*733^797              <2411>
536.   2^3*53^73*733^797              <2411>
537.   23*53^73*733^797               <2411>
538.   2*353^73*733^797               <2470>
539.   2*3*5^373*733^797              <2545>
540.   2^3*5^373*733^797              <2546>
541.   2*3^5373*7*33797               <2570>
542.   2*3^5373*73*3797               <2570>
543.   2*3^5373*733*797               <2570>
544.   2*3^5373*7^3*37*97             <2570>
545.   2*3^5373*7^3*3797              <2570>
546.   2*3^5373*73^3*797              <2573>
547.   2*3^5373*73^3*79^7             <2583>
548.   2*3^5373*73*379^7              <2584>
549.   2*3^5373*7^3*379^7             <2585>
550.   2*3^5373*7^33*797              <2595>
551.   2*3^5373*73379^7               <2598>
552.   2*3^5373*7^33*79^7             <2606>
553.   2*3*5^3737*33797               <2618>
554.   2^3*5^3737*33797               <2618>
555.   2*3^5373*73^37*97              <2635>
556.   2*3^5373*7^3*37^97             <2719>
557.   2*3^5373*7*337^97              <2810>
558.   2*3*5*37*3733^797              <2850>
559.   2^3*5*37*3733^797              <2851>
560.   2*3*5^3*7*3733^797             <2851>
561.   2*3^5373*7^337*97              <2851>
562.   2^3*5^3*7*3733^797             <2851>
563.   2*3^5*37*3733^797              <2852>
564.   23^5*37*3733^797               <2856>
565.   2*3*5^3737*337^97              <2859>
566.   2^3*5^3737*337^97              <2859>
567.   2^35*3*7*3733^797              <2859>
568.   2^35*37*3733^797               <2860>
569.   2*3*53^7*3733^797              <2860>
570.   2^3*53^7*3733^797              <2860>
571.   23*53^7*3733^797               <2861>
572.   2^35*3^7*3733^797              <2861>
573.   2*353^7*3733^797               <2866>
574.   2*3^53*7*3733^797              <2874>
575.   2*3*5^37*3733^797              <2874>
576.   2^3*5^37*3733^797              <2874>
577.   2^353*7*3733^797               <2955>
578.   2*3^537*3733^797               <3104>
579.   2*3*5^3*7^3733*797             <3161>
580.   2^3*5^3*7^3733*797             <3161>
581.   2^35*3*7^3733*797              <3169>
582.   2*3*5^3*7^3733*79^7            <3171>
583.   2^3*5^3*7^3733*79^7            <3172>
584.   2^35*3*7^3733*79^7             <3180>
585.   2*3^53*7^3733*797              <3184>
586.   2*3^53*7^3733*79^7             <3194>
587.   2^353*7^3733*797               <3264>
588.   2^353*7^3733*79^7              <3275>
589.   2^3537*3*733^797               <3349>
590.   2^35*3^7373*37*97              <3532>
591.   2^35*3^7373*3797               <3532>
592.   2^35*3^7373*379^7              <3547>
593.   23^537*3733^797                <3579>
594.   2^35*3^7373*37^97              <3681>
595.   2^3537*3733^797                <3912>
596.   2^3537*3^7337*97               <4568>
597.   2*3^5373*733^797               <4848>
598.   2*3*5373733^797                <5365>
599.   2^3*5373733^797                <5365>
600.   23*5373733^797                 <5366>
601.   2*3*5*37^3733*797              <5859>
602.   2^3*5*37^3733*797              <5859>
603.   2*3^5*37^3733*797              <5860>
604.   23^5*37^3733*797               <5864>
605.   2^35*37^3733*797               <5868>
606.   2*3*5*37^3733*79^7             <5869>
607.   2^3*5*37^3733*79^7             <5869>
608.   2*3^5*37^3733*79^7             <5871>
609.   23^5*37^3733*79^7              <5875>
610.   2^35*37^3733*79^7              <5878>
611.   2*3*5^3*7^3*73^3797            <7081>
612.   2^3*5^3*7^3*73^3797            <7081>
613.   2*3*5*37^3*73^3797             <7082>
614.   2^3*5*37^3*73^3797             <7082>
615.   2*3^5*37^3*73^3797             <7083>
616.   23^5*37^3*73^3797              <7087>
617.   2^35*3*7^3*73^3797             <7089>
618.   2^35*37^3*73^3797              <7091>
619.   2*3^53*7^3*73^3797             <7104>
620.   2^35*3^73*73^3797              <7121>
621.   2^353*7^3*73^3797              <7184>
622.   2*3*53^73*73^3797              <7202>
623.   2^3*53^73*73^3797              <7202>
624.   23*53^73*73^3797               <7203>
625.   23^5373*73*3797                <7323>
626.   23^5373*733*797                <7323>
627.   23^5373*73^3*797               <7326>
628.   23^5373*73^3*79^7              <7336>
629.   23^5373*73*379^7               <7337>
630.   2*3*5^373*73^3797              <7337>
631.   2^3*5^373*73^3797              <7337>
632.   23^5373*73379^7                <7351>
633.   23^5373*73^37*97               <7388>
634.   2^3537*3*73^3797               <8141>
635.   23^5373*733^797                <9601>
636.   2*3^5373*73^3797               <9639>
637.   2*3*5*37*373^3797              <9768>
638.   2^3*5*37*373^3797              <9768>
639.   2*3*5^3*7*373^3797             <9769>
640.   2^3*5^3*7*373^3797             <9769>
641.   2*3^5*37*373^3797              <9770>
642.   23^5*37*373^3797               <9774>
643.   2^35*3*7*373^3797              <9777>
644.   2^35*37*373^3797               <9777>
645.   2*3*53^7*373^3797              <9778>
646.   2^3*53^7*373^3797              <9778>
647.   23*53^7*373^3797               <9779>
648.   2^35*3^7*373^3797              <9779>
649.   2*353^7*373^3797               <9783>
650.   2*3^53*7*373^3797              <9792>
651.   2*3*5^37*373^3797              <9792>
652.   2^3*5^37*373^3797              <9792>
653.   2^353*7*373^3797               <9872>
654.   2*3^537*373^3797              <10022>
655.   23^537*373^3797               <10497>
656.   2^35373*7*33797               <10654>
657.   2^35373*73*3797               <10654>
658.   2^35373*733*797               <10655>
659.   2^35373*7^3*37*97             <10655>
660.   2^35373*7^3*3797              <10655>
661.   2^35373*73^3*797              <10657>
662.   2^35373*73^3*79^7             <10668>
663.   2^35373*73*379^7              <10669>
664.   2^35373*7^3*379^7             <10669>
665.   2^35373*7^33*797              <10680>
666.   2^35373*73379^7               <10683>
667.   2^35373*7^33*79^7             <10690>
668.   2^35373*73^37*97              <10720>
669.   2^35373*7^3*37^97             <10803>
670.   2^3537*373^3797               <10830>
671.   2^35373*7*337^97              <10895>
672.   2^35373*7^337*97              <10936>
673.   2*3*53^7373*3797              <12718>
674.   2^3*53^7373*3797              <12718>
675.   23*53^7373*3797               <12719>
676.   2*3*53^7373*379^7             <12732>
677.   2^3*53^7373*379^7             <12733>
678.   23*53^7373*379^7              <12733>
679.   2^35373*733^797               <12932>
680.   2*3*53*73^7337*97             <13676>
681.   2^3*53*73^7337*97             <13676>
682.   2*3*5^3*73^7337*97            <13677>
683.   2^3*5^3*73^7337*97            <13677>
684.   23*53*73^7337*97              <13677>
685.   2^35*3*73^7337*97             <13685>
686.   2*3^53*73^7337*97             <13699>
687.   23^53*73^7337*97              <13746>
688.   2^353*73^7337*97              <13780>
689.   23^5373*73^3797               <14392>
690.   2^35373*73^3797               <17724>
691.   2*353^7373*3797               <18789>
692.   2*353^7373*379^7              <18804>
693.   2*3*537373^3797               <21759>
694.   2^3*537373^3797               <21759>
695.   23*537373^3797                <21760>
696.   2*3^53737*33797               <25644>
697.   2*3^53737*337^97              <25885>
698.   2*3*5^37373*37*97             <26127>
699.   2*3*5^37373*3797              <26127>
700.   2^3*5^37373*37*97             <26128>
701.   2^3*5^37373*3797              <26128>
702.   2*3*5^37373*379^7             <26142>
703.   2^3*5^37373*379^7             <26142>
704.   2*3*5^37373*37^97             <26276>
705.   2^3*5^37373*37^97             <26276>
706.   2^35*3^73*7^33797             <28608>
707.   2*3*5^373*7^33797             <28824>
708.   2^3*5^373*7^33797             <28824>
709.   2^3537*3*7^33797              <29627>
710.   2*3^5373*7^33797              <31126>
711.   2*3*5^3*7^37337*97            <31559>
712.   2^3*5^3*7^37337*97            <31559>
713.   2^35*3*7^37337*97             <31567>
714.   2*3^53*7^37337*97             <31582>
715.   2^353*7^37337*97              <31662>
716.   2^35*3^73733*7*97             <35193>
717.   2^35*3^73733*797              <35194>
718.   2^35*3^73733*79^7             <35204>
719.   2^35*3^73733*7^97             <35273>
720.   2^3537*3^73379*7              <36077>
721.   2^35373*7^33797               <39211>
722.   2*3*5^3*7*37^33797            <53005>
723.   2^3*5^3*7*37^33797            <53005>
724.   2^35*3*7*37^33797             <53013>
725.   2^35*3^7*37^33797             <53015>
726.   2*3^53*7*37^33797             <53027>
727.   2*3*5^37*37^33797             <53028>
728.   2^3*5^37*37^33797             <53028>
729.   2^353*7*37^33797              <53108>
730.   2*3^537*37^33797              <53258>
731.   23^537*37^33797               <53732>
732.   2^3537*37^33797               <54066>
733.   2*3*5*37^37337*97             <58556>
734.   2^3*5*37^37337*97             <58556>
735.   2*3^5*37^37337*97             <58557>
736.   23^5*37^37337*97              <58561>
737.   2^35*37^37337*97              <58565>
738.   23^53737*33797                <73180>
739.   23^53737*337^97               <73421>
740.   2^353737*3*37*97             <106490>
741.   2^353737*3*3797              <106490>
742.   2^353737*3^3*7*97            <106490>
743.   2^353737*3^3*797             <106490>
744.   2^353737*33797               <106490>
745.   2^353737*3^3*79^7            <106501>
746.   2^353737*3*379^7             <106504>
747.   2^353737*3^37*97             <106506>
748.   2^353737*3^3*7^97            <106569>
749.   2^353737*3*37^97             <106639>
750.   2^353737*3^379*7             <106668>
751.   2^353737*337^97              <106731>
752.   2^353737*3^3797              <108298>
753.   2*3*53^73733*797             <127140>
754.   2^3*53^73733*797             <127140>
755.   23*53^73733*797              <127141>
756.   2*3*53^73733*79^7            <127151>
757.   2^3*53^73733*79^7            <127151>
758.   23*53^73733*79^7             <127151>
759.   2*353737^33797               <187530>
760.   2*353^73733*797              <187859>
761.   2*3^537373*37*97             <256396>
762.   2*3^537373*3797              <256396>
763.   2*3^537373*379^7             <256411>
764.   2*3^537373*37^97             <256545>
765.   2*3*5^373733*7*97            <261232>
766.   2*3*5^373733*797             <261232>
767.   2^3*5^373733*7*97            <261232>
768.   2^3*5^373733*797             <261232>
769.   2*3*5^373733*79^7            <261243>
770.   2^3*5^373733*79^7            <261243>
771.   2*3*5^373733*7^97            <261311>
772.   2^3*5^373733*7^97            <261312>
773.   2^3537*3^733797              <351175>
774.   2^35*3^737337*97             <351812>
775.   23^537373*37*97              <731760>
776.   23^537373*3797               <731760>
777.   23^537373*379^7              <731774>
778.   23^537373*37^97              <731908>
779.   2^3537373*3*7*97            <1064859>
780.   2^3537373*3*797             <1064859>
781.   2^3537373*37*97             <1064859>
782.   2^3537373*3797              <1064859>
783.   2^3537373*3^7*97            <1064861>
784.   2^3537373*3*79^7            <1064870>
785.   2^3537373*379^7             <1064874>
786.   2^3537373*3^79*7            <1064894>
787.   2^3537373*3*7^97            <1064938>
788.   2^3537373*37^97             <1065008>
789.   2^3537373*3^797             <1065236>
790.   2*3*53^737337*97            <1271376>
791.   2^3*53^737337*97            <1271376>
792.   23*53^737337*97             <1271376>
793.   2*3*53*73^733797            <1367304>
794.   2^3*53*73^733797            <1367304>
795.   2*3*5^3*73^733797           <1367304>
796.   2^3*5^3*73^733797           <1367304>
797.   23*53*73^733797             <1367304>
798.   2^35*3*73^733797            <1367312>
799.   2*3^53*73^733797            <1367327>
800.   23^53*73^733797             <1367373>
801.   2^353*73^733797             <1367407>
802.   2*3*5*373^733797            <1887114>
803.   2^3*5*373^733797            <1887114>
804.   2*3^5*373^733797            <1887115>
805.   23^5*373^733797             <1887120>
806.   2^35*373^733797             <1887123>
807.   2*3^5373733*7*97            <2563926>
808.   2*3^5373733*797             <2563926>
809.   2*3^5373733*79^7            <2563936>
810.   2*3^5373733*7^97            <2564005>
811.   2*3*5^3737337*97            <2612290>
812.   2^3*5^3737337*97            <2612290>
813.   2*3*5^3*7^3733797           <3155428>
814.   2^3*5^3*7^3733797           <3155428>
815.   2^35*3*7^3733797            <3155436>
816.   2*3^53*7^3733797            <3155451>
817.   2^353*7^3733797             <3155531>
818.   2^35*3^7373379*7            <3518008>
819.   2*3*5*37^3733797            <5855349>
820.   2^3*5*37^3733797            <5855349>
821.   2*3^5*37^3733797            <5855350>
822.   23^5*37^3733797             <5855354>
823.   2^35*37^3733797             <5855358>
824.   23^5373733*797              <7317565>
825.   23^5373733*79^7             <7317576>
826.   2^35373733*7*97            <10648558>
827.   2^35373733*797             <10648558>
828.   2^35373733*79^7            <10648568>
829.   2^35373733*7^97            <10648637>
830.   23537^3733797              <16323232>
831.   2*3^53737337*97            <25639228>
832.   2*3*5^37373379*7           <26122873>
833.   2^3*5^37373379*7           <26122873>
834.   2^35*3^73733797            <35179973>
835.   23^53737337*97             <73175630>
836.   2^353737337*97            <106485552>
837.   2*3*53^73733797           <127137408>
838.   2^3*53^73733797           <127137408>
839.   23*53^73733797            <127137409>
840.   2*353^73733797            <187857104>
841.   2*3^537373379*7           <256392262>
842.   2*3*5^373733797           <261228715>
843.   2^3*5^373733797           <261228715>
844.   2^3537373379*7           <1064855494>
845.   2*3^5373733797           <2563922613>
846.   23^5373733797            <7317562895>
847.   2^35373733797           <10648554932>

So we went from 334 to 520 to 847. My record to beat for 13-digit numbers is 1187 and for 14-digit numbers, 1959.