Friday, May 24

Prime sandwiches (made with one-derbread)

This refers to David James Sycamore's A306861, which asks — for each prime — how many digit 1s must be appended to both sides of that prime (even if it already starts or ends with one or more 1s) before we generate another prime. For example, for the prime 3 only one 1 is required: 3  131. For the prime 263, ten are required: 263  11111111112631111111111. For the prime 34337, it takes one hundred 1s on each side, and for the prime 36161, it takes one thousand. Here's a three-column list giving the number for all primes less than 10000:

   2 *                 2833 5                 6311 6
   3 1                 2837 3                 6317 1
   5 1                 2843 1                 6323 10
   7 3                 2851 3                 6329 19
  11 *                 2857 2                 6337 38
  13 3                 2861 6                 6343 935
  17 1                 2879 3                 6353 3
  19 21                2887 1368              6359 4
  23 1                 2897 1                 6361 3
  29 1                 2903 18                6367 44
  31 2                 2909 3                 6373 2915
  37 *                 2917 12                6379 5
  41 3                 2927 4                 6389 33771
  43 2                 2939 7                 6397 2
  47 1                 2953 2                 6421 >40000
  53 1                 2957 18                6427 50
  59 42                2963 1                 6449 10
  61 14                2969 7                 6451 2
  67 3                 2971 11                6469 8
  71 73                2999 1914              6473 >50000
  73 3                 3001 3                 6481 78
  79 2                 3011 4                 6491 1
  83 1                 3019 3                 6521 1
  89 4                 3023 4                 6529 2
  97 3                 3037 5                 6547 2
 101 *                 3041 1                 6551 1
 103 2                 3049 591               6553 2
 107 1                 3061 6                 6563 18
 109 3                 3067 6                 6569 10
 113 1                 3079 2                 6571 3
 127 3                 3083 28                6577 18
 131 1                 3089 3                 6581 1
 137 3                 3109 2                 6599 3
 139 3                 3119 12                6607 8
 149 1                 3121 2                 6619 2
 151 6                 3137 1                 6637 6
 157 2                 3163 11                6653 58
 163 3                 3167 1                 6659 27
 167 192               3169 2                 6661 2
 173 1                 3181 5                 6673 27
 179 4                 3187 2                 6679 2
 181 3                 3191 288               6689 3
 191 3                 3203 3                 6691 2
 193 8                 3209 7                 6701 >40000
 197 1                 3217 96                6703 81
 199 9                 3221 7                 6709 18
 211 36                3229 159               6719 1
 223 5                 3251 1                 6733 6
 227 12                3253 9                 6737 7
 229 5                 3257 3                 6761 1
 233 18                3259 2                 6763 12
 239 1                 3271 5                 6779 54
 241 26                3299 16                6781 2
 251 1                 3301 5                 6791 1
 257 16                3307 102               6793 593
 263 10                3313 2                 6803 9
 269 15                3319 3                 6823 2
 271 2                 3323 3                 6827 52
 277 72                3329 10                6829 3
 281 22                3331 2                 6833 1
 283 3                 3343 20                6841 2
 293 4                 3347 18                6857 9
 307 2                 3359 4                 6863 1
 311 4                 3361 5                 6869 4
 313 5                 3371 1                 6871 2
 317 1                 3373 141               6883 2
 331 12                3389 15                6899 1
 337 5                 3391 5                 6907 26
 347 13                3407 21                6911 1
 349 3                 3413 7                 6917 3
 353 9                 3433 12                6947 1
 359 1                 3449 12                6949 20
 367 6                 3457 5                 6959 1
 373 60                3461 13                6961 6
 379 2                 3463 2                 6967 11
 383 1                 3467 3                 6971 39
 389 58                3469 39                6977 1413
 397 >75000            3491 36                6983 1
 401 1                 3499 18                6991 44
 409 2                 3511 8                 6997 2
 419 24                3517 >50000            7001 3
 421 42                3527 1                 7013 30
 431 4                 3529 5                 7019 984
 433 6                 3533 3                 7027 3
 439 30                3539 1                 7039 2
 443 1                 3541 32                7043 15
 449 4                 3547 5                 7057 2
 457 3                 3557 1                 7069 12
 461 27                3559 5                 7079 7
 463 3                 3571 2                 7103 54
 467 67                3581 15                7109 1
 479 3                 3583 2                 7121 3
 487 5                 3593 3                 7127 1
 491 12                3607 6                 7129 35
 499 6                 3613 42                7151 3
 503 1                 3617 6                 7159 2
 509 1                 3623 13                7177 3
 521 12                3631 3                 7187 696
 523 6                 3637 16214             7193 6
 541 6                 3643 437               7207 6
 547 11                3659 255               7211 6
 557 145               3671 1                 7213 582
 563 >60000            3673 5                 7219 2
 569 3                 3677 6                 7229 3
 571 2                 3691 17                7237 6
 577 2                 3697 3                 7243 5
 587 9                 3701 33                7247 78
 593 187               3709 6                 7253 6
 599 1                 3719 1                 7283 10
 601 2                 3727 7211              7297 6
 607 38                3733 5                 7307 31
 613 117               3739 3                 7309 20
 617 6                 3761 3                 7321 3
 619 3                 3767 21                7331 24
 631 2                 3769 5                 7333 2
 641 1                 3779 1                 7349 1
 643 5                 3793 8                 7351 5
 647 3                 3797 42                7369 8
 653 73                3803 3                 7393 2
 659 312               3821 12                7411 3
 661 3                 3823 150               7417 2
 673 3746              3833 3                 7433 1
 677 25                3847 18                7451 4
 683 1                 3851 1                 7457 1
 691 5                 3853 1103              7459 11
 701 1                 3863 7                 7477 2
 709 45                3877 204               7481 >40000
 719 1                 3881 13                7487 6
 727 572               3889 3                 7489 3
 733 42                3907 3                 7499 1
 739 46026             3911 552               7507 24
 743 1                 3917 3                 7517 3
 751 3                 3919 20                7523 132
 757 2                 3923 6                 7529 1
 761 42                3929 1                 7537 255
 769 2                 3931 14                7541 1
 773 6                 3943 3                 7547 7
 787 2                 3947 3                 7549 5
 797 1                 3967 11                7559 12
 809 16                3989 1                 7561 3
 811 5                 4001 3                 7573 3
 821 1                 4003 5                 7577 16
 823 3                 4007 1                 7583 6
 827 10                4013 4                 7589 1
 829 12                4019 1                 7591 5
 839 15                4021 5                 7603 3
 853 144               4027 6                 7607 9
 857 2068              4049 48                7621 15
 859 5                 4051 6                 7639 3
 863 9                 4057 29                7643 1
 877 18                4073 1                 7649 3
 881 3                 4079 27                7669 23
 883 8                 4091 6                 7673 13
 887 4                 4093 336               7681 3
 907 3                 4099 2                 7687 3
 911 4                 4111 9                 7691 3
 919 5                 4127 90                7699 60
 929 12                4129 2                 7703 4
 937 2                 4133 4                 7717 18
 941 16                4139 9                 7723 1293
 947 1                 4153 8                 7727 4
 953 1                 4157 21                7741 5
 967 6                 4159 >40000            7753 2
 971 4                 4177 57                7757 7
 977 166               4201 2                 7759 5
 983 3                 4211 1                 7789 2
 991 24                4217 22                7793 3
 997 2                 4219 3                 7817 3
1009 447               4229 16                7823 1
1013 138               4231 804               7829 6
1019 4                 4241 12                7841 10
1021 23                4243 3                 7853 1
1031 1                 4253 7                 7867 15
1033 2                 4259 1                 7873 14
1039 11                4261 42                7877 12
1049 1                 4271 1                 7879 12
1051 3                 4273 5                 7883 1
1061 4                 4283 3                 7901 9
1063 12                4289 72                7907 13
1069 3                 4297 2                 7919 21
1087 6                 4327 3                 7927 810
1091 6                 4337 3                 7933 2
1093 14                4339 3                 7937 7
1097 141               4349 3                 7949 3
1103 1                 4357 125               7951 3
1109 1                 4363 2                 7963 2
1117 41                4373 6                 7993 2
1123 11                4391 42                8009 3
1129 8                 4397 1                 8011 11
1151 133               4409 49                8017 3
1153 3                 4421 16                8039 1
1163 804               4423 2                 8053 6
1171 173               4441 53                8059 126
1181 6                 4447 26                8069 3
1187 1                 4451 1                 8081 1
1193 4                 4457 591               8087 1
1201 5                 4463 10                8089 492
1213 5                 4481 12                8093 6
1217 3                 4483 317               8101 5
1223 9                 4493 1                 8111 10398
1229 1                 4507 30                8117 9
1231 3                 4513 2                 8123 4
1237 9                 4517 9                 8147 13
1249 *                 4519 2                 8161 2
1259 27                4523 4                 8167 9
1277 1                 4547 1                 8171 1
1279 3                 4549 6                 8179 90
1283 1                 4561 2                 8191 5
1289 3                 4567 323               8209 3
1291 173               4583 303               8219 3
1297 3                 4591 2                 8221 6575
1301 1                 4597 2                 8231 24
1303 8                 4603 6                 8233 3
1307 780               4621 27                8237 7953
1319 432               4637 30                8243 1
1321 6                 4639 6                 8263 150
1327 15                4643 3                 8269 5
1361 4                 4649 33                8273 216
1367 18                4651 5                 8287 29
1373 1                 4657 710               8291 6
1381 12                4663 23                8293 11
1399 17                4673 3                 8297 4
1409 4                 4679 4                 8311 2
1423 2                 4691 45                8317 20
1427 4                 4703 1                 8329 3
1429 12                4721 1                 8353 3
1433 15                4723 2                 8363 24
1439 4                 4729 3                 8369 1
1447 8                 4733 1                 8377 188
1451 12                4751 3                 8387 1
1453 6                 4759 2                 8389 5
1459 17                4783 17                8419 3
1471 3                 4787 51                8423 1
1481 252               4789 29                8429 1
1483 3                 4793 30                8431 6
1487 72                4799 7                 8443 12
1489 5                 4801 54                8447 3
1493 16                4813 2                 8461 3
1499 121               4817 1                 8467 18
1511 36                4831 20                8501 4
1523 3                 4861 563               8513 1
1531 6                 4871 1                 8521 6
1543 5                 4877 2988              8527 6
1549 5                 4889 1                 8537 1
1553 3                 4903 23                8539 3
1559 6                 4909 47                8543 6
1567 5                 4919 3                 8563 2
1571 48                4931 6                 8573 9
1579 12                4933 2                 8581 3
1583 1                 4937 1                 8597 1
1597 15                4943 12                8599 18
1601 3                 4951 3                 8609 18
1607 9                 4957 12                8623 342
1609 3                 4967 16                8627 1
1613 1                 4969 3                 8629 2
1619 1                 4973 1                 8641 54
1621 17                4987 17                8647 3
1627 54                4993 3                 8663 7
1637 1                 4999 2                 8669 13
1657 5                 5003 6                 8677 2
1663 5                 5009 1                 8681 6
1667 25                5011 2                 8689 2
1669 11                5021 1                 8693 9
1693 2                 5023 2                 8699 1554
1697 46                5039 7                 8707 5
1699 2                 5051 3                 8713 5
1709 3                 5059 60                8719 3
1721 7                 5077 120               8731 2
1723 2                 5081 7                 8737 5
1733 1                 5087 537               8741 570
1741 6                 5099 1                 8747 1
1747 8                 5101 11                8753 1
1753 113               5107 2                 8761 48
1759 2                 5113 48                8779 2
1777 2                 5119 3                 8783 3
1783 12                5147 1                 8803 2
1787 36                5153 1                 8807 18
1789 14                5167 2                 8819 9
1801 2                 5171 483               8821 3
1811 3078              5179 2                 8831 1
1823 9565              5189 4                 8837 72
1831 3                 5197 42                8839 5
1847 1                 5209 2                 8849 1
1861 2                 5227 2                 8861 4
1867 2                 5231 1                 8863 5
1871 36                5233 5                 8867 3
1873 6                 5237 4                 8887 3
1877 6                 5261 18                8893 30
1879 6                 5273 3                 8923 8
1889 1                 5279 1                 8929 33
1901 3                 5281 71                8933 3
1907 4                 5297 15                8941 3
1913 1                 5303 16                8951 6
1931 1                 5309 10                8963 702
1933 3                 5323 378               8969 1
1949 34                5333 18                8971 18
1951 8                 5347 6                 8999 7
1973 138               5351 1                 9001 57
1979 6                 5381 186               9007 2
1987 3                 5387 1                 9011 6
1993 6                 5393 7                 9013 11
1997 1                 5399 1                 9029 60
1999 479               5407 42                9041 30
2003 40                5413 2                 9043 3
2011 2                 5417 6                 9049 2
2017 2                 5419 50                9059 1
2027 10                5431 5                 9067 261
2029 311               5437 3                 9091 17
2039 1                 5441 4                 9103 5
2053 83                5443 47                9109 24
2063 228               5449 12                9127 3
2069 1                 5471 3                 9133 3
2081 1                 5477 426               9137 3
2083 2                 5479 14                9151 72
2087 1                 5483 3                 9157 2
2089 6                 5501 42                9161 3
2099 3                 5503 107               9173 226
2111 12                5507 18                9181 8
2113 8                 5519 1                 9187 6
2129 1                 5521 3                 9199 78
2131 5                 5527 5                 9203 42
2137 2                 5531 639               9209 1
2141 18                5557 359               9221 4
2143 2                 5563 30                9227 1
2153 1                 5569 2                 9239 1
2161 6                 5573 1                 9241 2
2179 2                 5581 3                 9257 1
2203 2                 5591 42                9277 2
2207 63                5623 2                 9281 1
2213 1                 5639 7                 9283 156
2221 3                 5641 5                 9293 1
2237 4                 5647 833               9311 6
2239 5                 5651 1                 9319 5
2243 130               5653 6                 9323 43
2251 5                 5657 75                9337 20
2267 7                 5659 6                 9341 31
2269 2                 5669 1                 9343 2
2273 3                 5683 3                 9349 3
2281 3                 5689 3                 9371 36
2287 120               5693 6                 9377 1
2293 3                 5701 5                 9391 2
2297 1                 5711 6                 9397 17
2309 1                 5717 6                 9403 2
2311 2                 5737 3                 9413 3
2333 6078              5741 1                 9419 24
2339 13                5743 5                 9421 3
2341 11                5749 3                 9431 6
2347 2                 5779 20                9433 8
2351 3                 5783 1                 9437 1
2357 3                 5791 2                 9439 6
2371 11                5801 24                9461 19
2377 3                 5807 1                 9463 18
2381 192               5813 364               9467 1
2383 6                 5821 5                 9473 441
2389 14                5827 5                 9479 9
2393 1                 5839 2                 9491 1
2399 6                 5843 3                 9497 15
2411 198               5849 24                9511 9
2417 1                 5851 8                 9521 4
2423 1                 5857 11                9533 3
2437 3                 5861 1                 9539 3
2441 3                 5867 31                9547 6
2447 1                 5869 47                9551 1
2459 4                 5879 1                 9587 3
2467 6                 5881 6                 9601 2
2473 5                 5897 19                9613 3
2477 1                 5903 55                9619 672
2503 8                 5923 2                 9623 15
2521 5                 5927 >40000            9629 1
2531 1                 5939 24                9631 2
2539 5                 5953 35                9643 3
2543 4                 5981 1                 9649 11
2549 28                5987 1                 9661 2
2551 18                6007 2                 9677 1
2557 2                 6011 9                 9679 2
2579 1                 6029 3                 9689 24
2591 >50000            6037 17                9697 30
2593 1332              6043 5                 9719 25
2609 3                 6047 43                9721 2
2617 18                6053 21                9733 66
2621 1                 6067 6                 9739 2
2633 48                6073 12                9743 63
2647 3                 6079 17                9749 36
2657 6                 6089 42                9767 9
2659 2                 6091 11                9769 2
2663 1                 6101 4                 9781 2
2671 11                6113 6                 9787 5
2677 420               6121 5                 9791 228
2683 9                 6131 39                9803 1
2687 6                 6133 5                 9811 15
2689 8                 6143 3                 9817 5
2693 18                6151 3                 9829 2
2699 3                 6163 6                 9833 3
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2711 93                6197 1                 9851 3
2713 12                6199 12                9857 1
2719 12                6203 3                 9859 24
2729 1                 6211 74                9871 56
2731 2                 6217 45                9883 18
2741 9                 6221 15                9887 7
2749 5                 6229 2                 9901 59
2753 6                 6247 5                 9907 3
2767 3                 6257 16                9923 4
2777 9                 6263 6                 9929 24
2789 16                6269 1                 9931 102
2791 3                 6271 3                 9941 1
2797 8                 6277 2687              9949 3
2801 21                6287 190               9967 2
2803 18                6299 28                9973 2
2819 6                 6301 3                 etc

The six asterisks indicate infinity. No finite number of 1s will ever make those primes prime again. The ten greater-than symbols show lower limits for unknowns. The currently largest known number is 46026 for the prime 739.

Saturday, May 11

Infinite knight tours

I wanted to share two pictures illustrating a knight starting on a central square of an infinite chessboard jumping to every other square of that board without ever landing on the same square twice.


The first is what you usually see when researching the subject. A central 5-by-5 square is tackled first. Then two-squares-wide rings are travelled sequentially. It takes four trips to complete each ring. The trips may be made clockwise or counterclockwise. In my drawing I've alternated the directions. The tours are not limited to these possibilities as there are other variants. Just the central 5-by-5 square can be drawn in 64 different ways, but it will always end up in one of the four corners (16 ways per corner).

My second picture duplicates the green starting and red terminal square of the finite 25-by-25 approximation of our infinite chessboard.


But it uses a radically different construction method. Our central 5-by-5 starting square is joined by another to its right; and that by another above. If one follows the connections one will understand why this also will travel the entire board to infinity. I've created the 5-by-5 patterns haphazardly, as (again) there are plenty of alternatives from which to choose.

I drew my pictures using Mathematica code from Dr. Colin Rose.

Thursday, April 18

Antipodal New Zealand

Back in 2001 I used Mathematica to create a very rough image of an antipodal New Zealand atop the countries of Portugal, Spain, and Morocco:


Antipodal New Zealand here (in case you didn't recognize it) is in red. I'm pleased to see that the latest version (12) of Mathematica does this sort of thing using a built-in GeoAntipode function and the country graphics are much improved:


What a difference! Carl Lange calculated that about 60% of New Zealand has above-sea-level land at its antipode.